PENGERTIAN HIMPUNAN DAN HIMPUNAN BILANGAN
Disusun oleh :
1. Suci Mu’izz Marsila 16600005
2. Lia Rahmawati 16600009
3. Nida Sefrina 16600020
4. Resma Puspitasari 16600030
5. Wahyu Striata Awidati 16600033
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT. yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah tentang himpunan dan himpunan bilangan tepat pada waktunya.
Makalah ini disusun bertujuan untuk menyelesaikan tugas yang diberikan oleh Bu Khurul Wardati selaku dosen pembimbing mata kuliah Logika Matematika dan Himpunan. Makalah ini berjudul “Pengertian Himpunan dan Himpunan Bilangan”.
Makalah ini dapat selesai karena bantuan dari berbagai pihak serta berbagai sumber. Adapun sumber-sumber dalam pembuatan makalah ini, didapatkan dari beberapa buku yang membahas tentang materi yang berkaitan dan juga melalui media internet.
Kami menyadari bahwa setiap manusia memiliki keterbatasan, begitu pun dengan kami yang masih mahasiswa. Dalam pembuatan makalah ini mungkin masih banyak sekali kekurangan-kekurangan yang ditemukan. Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Kami berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan makalah ini.
Yogyakarta, 07 Oktober 2016
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kita mengenal dan mempergunakan konsep himpunan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika, Himpunan Wanita Karya, Himpunan Pengusaha Muda Indonesia (HIPMI), Himpunan Kerukunan Tani Indonesia (HKTI), Himpunan Bank Swasta Nasional (Perbanas), dan lain-lain. Konsep himpunan itu tidak hanya dipergunakan secara intuitif dalam kehidupan sehari-hari, tetapi telah pula dikembangkan menjadi konsep formal yang dewasa ini menjadi konsep yang paling mendasar dalam matematika. Konsep-konsep dasar matematika seperti relasi, fungsi, operasi, dan sebagainya didefinisikan dengan menggunakan konsep himpunan itu.
B. Rumusan Masalah
1. Apa pengertian Himpunan?
2. Bagaimana peulisan Himpunan?
3. Apa saja macam-macam Himpunan Bilangan?
C. Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui tentang pengertian himpunan, penulisan himpunan, dan macam-macam himpunan bilangan.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Himpunan
Teori himpunan secara formal mulai dikembangkan oleh matematikawan Geog Cantor (1845-1918) pada akhir abad ke-19, dan saat ini telah menjadi salah satu unsur pokok dalam landasan matematikan modern.
Himpunan adalah kata benda yang berasal dari kata dasar himpun. Kata kerjanya menghimpun. Menghimpun adalah kegiatan yang berhubungan dengan berbagai objek apa saja. Hasil dari kegiatan itu berupa suatu himpunan. Sinonim himpunan antara lain gugus, kumpulan, kelas, koleksi dan keluarga.
Himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi obyek-obyek (konkret maupun abstrak) yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan haruslah terdefinisikan secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap obyek selalu dapat ditentukan secara tegas apakah obyek tersebut merupakan anggota himpunan itu atau tidak. Setiap himpunan terdapat batas yang tegas antara obyek-obyek yang merupakan anggota dan obyek-obyek yang tidak merupakan anggota dari himpunan itu.
1. Himpunan huruf hidup a,i,u,e,o
2. Himpunan orang Indonesia yang ada di dunia
3. Himpunan semua bilangan genap 2,4,6,8,…
B. Cara Penulisan Himpunan
Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf besar misalnya A, B, C, dst. Obyek-obyek yang merupakan anggota dari himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu, dan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya a, b, x, y, dst. Himpunan semua obyek yang termasuk lingkup pembicaraan disebut himpunan semesta atau semesta wacana, yang dilambangkan dengan U atau X. Untuk setiap obyek dalam semesta wacana dari suatu himpunan hanya ada dua kemungkinan, yaitu merupakan anggota dari himpunan itu atau tidak. Apabila suatu obyek x merupakan anggota dari himpunan A, maka hal itu kita nyatakan dengan notasi “x ϵ A”, dan bila obyek y bukan anggota dari himpunan A, maka hal itu kita nyatakan dengan notasi “ y ∉ A”.
Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu :
1. Cara daftar (pencacahan, tabulasi), yaitu mendaftar dengan menuliskan satu per satu lambang anggota-anggotanya diantara tanda kurung kurawal buka dan tutup serta setiap anggota dipisahkan dengan tanda koma (,). Himpunan yang hanya memiliki satu anggota disebut singleton. Urutan anggota-anggotanya tidak perlu diperhatikan. Cara ini biasanya dipakai untuk himpunan-himpunan yang diskret, misalnya :
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, d, a, c, e}
C = {Jakarta, Tokyo, Melbourne, London, New York}
D = {Rina, Adi, Toni, Dewi, Agnes, Budi, Vera}
E = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
F = {0}
2. Cara aturan (notasi pembentuk himpunan) , yaitu dengan memberikan aturan yang harus dipenuhi untuk menjadi anggota himpunan itu (yang juga disebut syarat keanggotaan dari himpunan itu), misalnya :
A = {x| x adalah salah satu dari lima huruf pertama dalam abjad}
D = {x| x adalah mahasiswa jurusan matematika}
N = {x| x adalah bilangan bulat positif}
3. Dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh anggota-anggotanya, contoh:
C = himpunan konsonan dalam abjad latin
D = himpunan 5 bilangan ganjil pertama
4. Jika suatu himpunan sama sekali tidak memuat anggota, misalnya himpunan bilangan real yang kuadratnya adalah bilangan negatif. Himpunan semacam itu disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan ϕ atau { }.
A. Macam-Macam Himpunan Bilangan
1. Himpunan Bilangan Asli
Himpunan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pegunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1,2,3 dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut himpunan bilangan asli. Dengan demikian himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang beranggotakan bilangan 1,2,3,4 dan seterusnya. Himpunan bilangan dilambangkan dengan huruf N dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.
N = {1,2,3,4...}
2. Himpunan Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan asli yang bukan 1 dan mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf P dan anggota himpunan dari bilangan prima dinyatakan sebagai berikut.
P = {2,3,5,7,...}
3. Himpunan Bilangan Cacah
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan 16 orang, hobi olahraga 9 orang dan tidak ada siswa yang memiliki hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan angka 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dengan himpunan bilangan 0 ini disebut himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut.
C = {0,1,2,3,4...}
4. Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan negatif dari bilangan asli. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf Z dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut.
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk p/q, dengan p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q ≠ 0. Dengan demikian himpunan bilangan rasional dapat ditulis sebagai,
Q = {x|x = dengan p ϵ Z, q ϵ Z, q ≠ 0}.
Q = {¼, ¾, .... }
pada pecahan , p disebut pembilang dan q disebut penyebut.
6. Himpunan Bilangan Irasional
Bilangan Irasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan rasional. Contoh bilangan irasional adalah misalnya π, e, log 2, 
. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf Qc.
. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf Qc.
Qc = {√2, √3, √5, √6, √7, ..... }
Keterangan tambahan: √4 = 2, berarti √4 bukan termasuk bilangan irrasional.
7. Himpunan Bilangan Real
Himpunan bilangan real adalah himpunan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf R.
R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ..... }
8. Himpunan Bilangan Imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner). i merupakan lambang bilangan yang bersifat i² = -1. Bilangan imajiner itu diperoleh dari menyelesaikan persamaan kuadratik berikut ini.
x²+1 = 0 ó x² = -1 atau sering dituliskan sebagai x=√-1
√-1 = i, √-2 = √2i, √-4 = 2i, √-9 = 3i
Himpunan bilangan imajiner dilambangkan dengan I dan anggotanya dapat dinyatakan sebagai berikut
I = {i, 4i, 5i}
9. Himpunan Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian: bagian real dan bagian imajiner (khayal). Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian real dan b bagian imajiner.
Himpunan kompleks dilambangkan dengan huruf K, dan anggotanya dinyatakan sebagai berikut
K = {3 + 4i, 5 – 7i, 2-3i, 8+2i}
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi obyek-obyek (konkret maupun abstrak) yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan haruslah terdefinisikan secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap obyek selalu dapat ditentukan secara tegas apakah obyek tersebut merupakan anggota himpunan itu atau tidak. Himpunan bilangan dibagi menjadi 9 yaitu himpunan bilangan asli, himpunan bilangan prima, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan real, himpunan bilangan imajiner, dan himpunan bilangan kompleks.
B. Daftar Pustaka
Setiadji. Himpunan dan Logika Samar serta Aplikasinya. 2009. Yogyakarta: Graha Ilmu
Susilo, Frans. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. 2006. Yogyakarta: Graha llmu
http://www.berpendidikan.com/2015/05/pengertian-bilangan-dan-macam-macam-bilangan-beserta-contohnya.html diakses tanggal 17 Oktober 2016
https://ritokurniawan.wordpress.com/2012/04/22/macam-macam-himpunan-bilangan/ diakses tanggal 17 Oktober 2016
